程晓华全面库存管理咨询, 订阅号 ITOOTD
搜索

瓶颈产量就是最佳投产批量的公式化证明

 二维码 32
发表时间:2021-06-19 12:31

程晓华

2021-6-18

        一条产线由不同的加工中心(WC, Work Center)组成,不同的WC的单件加工周期(CT,Cycle Time Per Piece)不一样,不同的WC的配置的机台数(Mi, Machine)也可能不同,这样就导致实际上的产能不均衡。

      在很多传统的产业,单元制生产(CellProduction)还是很难实现,在这种情况下,研究最佳投产批量(OBS, Optimized Batch Size)就成为必要。

那什么叫OBS呢?或者在OBS条件下能产生什么效果呢?

我给它的定义是:

-      第一批次的投产入库时间(这里定义为T1)比较短;

-      整张工单的完工时间(这里定义为T2)也比较短;

-      T1+T2最短。

理论上,瓶颈产量(Output of Bottleneck)就是OBS。

我们现在来搭建一条简单的生产线,并定义一些变量来公式化地证明这个问题:

-      我们的产线只有3个WC,分别为:WC1, WC2, WC3;

-      每个WC的机台配置数量为:M1, M2, M3

-      为了简单起见,我们假设每个机台每次只能加工处理一个零件;

-      每一个零件在每个机台的加工周期为:CT1,CT2,CT3;

-      假设M1>M2>M3>=1,CT1>CT2>CT3>0;

-      设工单(WO, Work Order)的数量为Q;

-      每次投产批量为BS,则,一个工单的总投产次数(TotalBatched Times, TBT)为TBT=Q/BS;

-      定义每个BS在每个WC的加工循环次数为PCTi,则,PCTi=BS/Mi,i=1,2, 3;

-      每个BS在每个WC的加工周期定义为BCT。

这样,我们分如下5种情形来讨论T1,T2及T1+T2的问题:

BS = 1,即,单件流

因为Mi>=1,所以,PCT1=PCT2=PCT3=1,同时:

BCT1=CT1

BCT2=CT2

BCT3=CT3

所以:T1=CT1+CT2+CT3

TBT=Q/BS = Q/1 = Q

所以:T2=CT1×Q+CT2+CT3

由于CT1×Q通常远大于CT2、CT3,

所以:T2≈CT1×Q

1<BS<=M3<M2<M1

因为M3最小,而BS<=M3,所以,仍然存在:PCT1=PCT2=PCT3=1,

同时:

BCT1=CT1

BCT2=CT2

BCT3=CT3

T1=CT1+CT2+CT3

但此时:TBT=Q/BS,BS>1

所以:T2=CT1×Q/BS+CT2+CT3≈CT1×(Q/BS)。

这样我们可以看出:在当前条件下,随着BS的增大,Y2减少,而Y1仍然保持不变。

M3<BS<=M2<M1

因为BS只是大于M3所以:

PCT1=PCT2=1,而PCT3=BS/M3,我们假设此时PCT3为正整数,因为加工循环不可能是非整数。

所以:

BCT1=CT1×1=CT1

BCT2=CT2×1=CT2

BCT3=CT3×BS/M3

所以:T1=CT1+CT2+CT3×BS/M3,此式说明,随着BS的增大,T1变大。

此时:TBT=Q/BS,BS>M3

所以:T2≈max(CT1, CT2,   CT3×BS/M3)×(Q/BS),其中,max()是取三者最大值的意思。

M3<M2<BS<=M1

此时:

PCT1=1

PCT2=BS/M2,PCT3=BS/M3,我们假设此时PCT2、PCT3都为正整数。

所以:

BCT1=CT1×1=CT1

BCT2=CT2×BS/M2

BCT3=CT3×BS/M3

所以:T1=CT1+CT2×BS/M2+ CT3×BS/M3= CT1+BS×(CT2/M2+ CT3/M3),此式也说明,随着BS的增大,T1变大。

此时:TBT=Q/BS,BS>M2

所以:T2≈max(CT1, CT2×BS/M2,   CT3×BS/M3)×(Q/BS)

以此推理,我们很容易得到,当BS>M1的时候:

T1=CT1×BS/M2+CT2×BS/M2+ CT3×BS/M3

=BS×(CT1/M1+CT2/M2+CT3/M3)

此时,我们可以非常明显地看出,随着BS的增大,T1在不断地变大,而T2≈max(CT1×BS/M1,CT2×BS/M2,   CT3×BS/M3)×(Q/BS)= max(CT1/M1,CT2/M2,   CT3/M3)×Q

上式告诉我们,此时T2与BS已经没有关系了。

这个问题应该怎么解释呢?

CT1/M1, CT2/M2,   CT3/M3分别代表了各个WC的综合加工能力,其最大值则是瓶颈产出,而当BS>M1的时候,意味着此时瓶颈产能已经是满负荷了,此时的产出已经与投产批量毫无关系了,投多、投少都一样了,产出量完全取决于瓶颈产能,所以T2也就与BS没有任何关系了。

在这个基础上,我们做进一步的推理,假设我们的产线有n个加工中心,共有n个加工周期,那么,在投产批量大于等于瓶颈产能的时候,T1、T2的表达式分别为:

OBSFORMULA.png

综合上面5种情形的分析,我们可以得到T1、T2的关系大概如下图A所示:

图A-T1、T2之间的变化关系

【声明】本研究似乎并非严谨,尤其是从数学角度看,但我思来想去觉得,这可能是目前能够证明这个命题比较好的方式了–至少,我得出的数学公式跟我们实际情况并不矛盾。有数学好的同仁可以做进一步的建模、论证,但此文发布后,我不想答疑,因为变量太多,要答疑的话太费时间,建议感兴趣的读者自己想办法模拟,感谢理解。

作者程晓华(John Cheng),全面库存管理(TIM)咨询独立顾问,《制造业库存控制技术与策略》课程创始人、讲师,《制造业库存控制技巧》、《首席物料官(网络)》、《决战库存》、《制造业全面库存管理》、《全面库存管理数学分析(预计2021年12月出版上市)》著作者,邮箱:johnchengbj@126.com   TIM订阅号:ITOOTD